债券材料补充

第一章：固定收益证券概述

第一节：固定收益证券的重要地位

1.现代金融与传统金融

• 传统金融中,金融市场不发达,经济中绝大部分金融总量是通过金融机构特别是银行来完成的；
• 随着金融市场的发展,直接金融在整个经济中的份额越来越大,直接金融的主要工具一一股票和固定收益证券的地位就变得越来越重要
• 金融工具逐渐替代商业银行成为现代金融的核心

==两种融资方式：直接融资、间接融资==

公司向银行贷款以获取个人储蓄，实现间接融资，特征：

• 银行中介贷款利率高于存款利率，从中赚取利润
• 银行做借款决策的人是有限的，对于公司了解有限，银行贷款面临违约风险大，企业借款能力低

公司将融资材料递交给投行，投行进行材料整合公示实现在债券（固收）市场的直接融资，特征：

• 债券市场参与者众多，能够更好监督公司
• 债券市场信息渠道充足，企业借款能力相对更强
• 银行存在竞争者，会提高相关机构的运行效率

2.固定收益证券市场的重要性

==固定收益证券市场的重要地位：==

• 满足了投资者和融资者双方的需求，从投资者角度看，满足了投资者谨慎以及基于其资产的结构特点的投资需求。从融资者角度看，扩展了融资者筹资的渠道·
• 解决了投资者对流动性的需求，但存在流动性溢价，即在其他条件不变情况下，流动性越强，投资者要求的收益率越低。
• 为宏观金融政策建立了发挥作用的机制，固收市场为金融市场提供了基准利率（到期收益率），金融市场各方在这一基准之上，考虑流动性溢价、风险溢价确立贷款利率和债券的价格。央行能通过公开市场操作调整短期基准利率（主要是贴现率）来影响整个市场的利率水平
• 促进健全公司的治理，投资银行对公司的债券承销会受到严格的评级，监管机构会随时监督公司
• 证券市场使得银行在融资方面多了竞争对手，使得金融机构的效率得到提升

第二节：固定收益债券的特征

固定收益证券具有==偿还期、票面利率、面值==等三个基本特征，很多证券具有==内含选择权==

1.特征一：偿还期

（一）==债券的划分（按期限）：==一年以内到期的为短期证券，一年到十年内到期的为中期证券，十年以上到期的为长期债券

（二）偿还期的重要性：

• 偿还期与债券的到期收益率密切相关
• 偿还期与债券的价格风险相关。偿还期越长，价格风险越大，回报率通常会高，再投资收益率风险越低；偿还期越短，价格风险越小，回报率通常会低，再投资收益率风险越高

2.特征二：面值

面值为证券的到期日本金。面值与利息支付额密切相关。

票面利率与到期收益率之间的关系：

• 平价交易，票面利率=到期收益率

• 折价交易，票面利率<到期收益率

• 溢价交易，票面利率>到期收益率

3.特征三：票面利率

（一）票面利率与付息频率

票面利率是指按单利方法计算的年利息率，利息的支付频率会有很大差别

利息支付频率不同，会引起最终的实际利率水平差别

（二）零息债券

零息债券是票面利率为零的债券，其特点为：

• 再投资收益率风险低，而价格风险高
• 由各种期限的零息国债到期收益率构成的到期收益率曲线，是金融中的重要参考基准利率

（三）票面利率逐级递增的债券

Step-up Note是指其票面利率经过一段时间后增加的债券

（四）延期支付利息的债券

这类债券在延期支付利息的时间里，没有利息支付。在一个事先规定的时间点一次性支付累积的利息，在此时间后，利息则定期支付

（五）浮动利率与逆浮动利率

==浮动利率==：指债券票面利率与一个基准利率挂钩，并在基准利率之上加上一个贴水，即 利息率 = 基准利率 + 贴水；有时浮动利率的确定是在基准利率的某一个倍数之上，再加上一个贴水，即 利息率 = b x 参考利率 + 贴水

==基准利率==：通常是被市场广泛认同的短期利率，包括1个月的伦敦同业拆借利率(1-month LIBOR)、3个月的伦敦同业拆借利率(3-month LIBOR)、1年期美国国债到期收益率，等等。

==贴水==：大小取决于该债券违约风险和流动性风险的大小；风险越高贴水越高

==逆浮动利率==：在一个最高利率的基础上减去基准利率，即 利息率 = 固定值 - 1个月的LIBOR；基准利率越高，逆浮动利率就越低；相反，基准利率越低，则道浮动利率就越高。有时逆浮动利率的确定是用固定值减去基准利率的某一个倍数，即 利息率 = 固定值 - m x 1个月的LIBOR

==为什么会有浮动利率与逆浮动利率==

• 浮动利率债券和逆浮动利率债券也许更受某些投资者（商业银行）的欢迎。比如，商业银行的负债基本上是短期的，为了降低利率风险，商业银行希望它的资产不是固定利率的，而是利率敏感的，这样，不管利率发生怎样的变化，商业银行资产的收益总能与其负债成本相匹配，并且能够提供稳定的利差。
• 逆浮动利率债券的风险特殊性，使其可以用来平衡债券组合的整体风险。在固定收益证券中，一个很重要的利率风险指标是持续期，逆浮动利率债券可以用来调整债券组合的持续期。

==利率的顶、底和箍==

逆浮动利率的底（最小值）为0，由此计算得基准利率的最大值，从而推出浮动利率的顶（最大值）；当底和顶同时存在时，形成箍。

==其他形式的浮动利率债券==

1. 双指数浮动利率债券。浮动利率变化依赖于两个基准利率，例如，浮动利率确定公式为 恒定10年期的国债到期收益率 - 3月LIBOR + 1.5%
2. 基准利率设有区间的债券 。参考利率有上限和下限。在利率确定日，只要参考利率在这一上下限之内，浮动利率就等于基准利率。一旦基准利率超出了上下限，那么浮动利率就是0
3. 分段贴水的浮动利率债券 。在整个期间，按照统一的基准利率确定利率水平，但不同阶段有不同的贴水。如前5年贴水为2%，后5年为3%。
4. 重新确定贴水的浮动利率债券 。发行者可以重新确定贴水，以使债券的交易价格*等于事先规定的水平(通常是面值)。
5. 非利率指数的基准利率 。浮动利率的确定不是根据某一个基准利率，而是根据原油、股价指数、债券价格指数等。

4.特征四：内含选择权

赋予发行者的选择权

1. ==回购条款==：

   通常，长期债券都设有可回购的条款，即债券的发行者可以在债券到期之前按事先约定的价格买回债券。对发行者有利，可以在市场利率低时重新融资。$\Rightarrow$需要给予投资者补偿。具体而言，在回购债券发行时，发行者要提供更高的票面利率，或者说，投资者可以按更低的价格购买这种债券。

   通常，回购价格不止一个，而是有一串。这一串回购价格对应于不同的回购日。回购价格通常会随着偿还期的靠近而不断下降，最终的价格就是债券的面值。

   在债券发行之初的若干年内，发行者通常不能回购债券。这样的债券被称作推迟回购(Deferred Call)的债券。债券第一次可以被回购的日期，被称为第一回购日(First Call Date)。

2. ==提前偿还==

   本质上，该权利与回购选择权是相同的。但二者也有不同之处，主要是提前偿还的选择权中没有回购价格，通常都是借款本金的面值，没有溢价。有提前偿还选择权的证券包括住房抵押贷款支持证券和资产支持证券等。

3. ==偿债基金条款==

   主要是为了保护债权人，在债务到期之前，偿债基金条款要求发行者买回的部分一般为20%~100%。

4. ==浮动利率的顶==

   浮动利率的顶就是发行者的选择权。假如浮动利率的顶是12%，那么当市场利率升高到15%时，浮动利率支付者就可以执行他的选择权，他按照顶所规定的12%的利率支付，而不是按照15%的市场利率来支付。

赋予投资者的选择权

1. ==可转换的权利==

   可转换债券赋予了投资者将该债券转化为股票的权利。可转债的价格由债券价值和转换后的股票价值共同给定。

2. ==可交换的权利==

   可交换的债券是指债券投资者有权将所持债券调换为另外一种债券，调换价格则事先给定。

3. ==货币选择权==

   有些在国际金融市场上发行的债券，为了吸引投资者，并减少投资者对汇率变化的担心，投资者在收取债券本息时，可以按两种货币中的任意一种计价，汇率则事先给定。

4. ==可回卖的权利==

   可回卖债券赋予债券投资者一种权利，即按事先规定的价格回卖给债券发行者

5. ==可延期的权利==

   当债券到期时，投资者有权要求发行者偿还债券本息，也有权按原来的利率继续持有一定时间。如果在债券到期时市场利率较低，那么投资者获得的债券本息就只能以比较低的收益率进行再投资。如果他有展期的权利，那么投资者就可以按较高的收益率继续获得收益。

6. ==浮动利率的底==

   与浮动利率的顶相反，浮动利率的底是浮动利率债券投资者的一项权利，即在市场利率低于一定水平的时候，投资者按照更高的利率一底，来获得利息。

第三节：固收的风险

1.违约风险

违约风险溢价

1.==中央政府发行的债券是没有信用风险的==，而==地方政府债券由于其偿还来源不同，违约风险有很大的区别：==

• 地方政府发行的一般义务债券是以其税收作为偿还来源的，信用风险很低
• 地方政府发行的收益债券，是以某一投资项目所产生的收益或者说是净现金流量作为偿还来源的，风险较高。

2.==公司债券是有信用风险的，而信用风险的大小可以用该公司的信用级别来衡量。==高级别债券信用风险低，而低级别债券信用风险高。通常来讲，金融债券的信用风险较低，金融机构的资信水平相对较高。

3.==资产支持证券(ABS)，或者住房抵押贷款支持证券也有信用风险。==

4.违约风险高，就必须向投资者支付高的违约风险溢价：

$$y- (y+\lambda)P_d=r_f$$

其中$y$为承诺的到期收益率，$P_d$为每年发生违约的概率，$\lambda$为证券每年发生违约后的价格损失程度，$r_f$为无风险利率。

$$\displaystyle y=\frac{r_f + \lambda P_d}{1-P_d}$$

实际上，由于固定收益证券存在违约风险，因此应该有违约风险溢价；又由于存在其他风险如流动性风险等，还应该有其他风险溢价。如果把违约风险溢价定义为$\alpha$，将其他风险溢价定义为$\beta$，则有：

$$y-(y+\lambda)P_d=r_f+\alpha+\beta$$

信用级别与评级公司

==证券市场对不同的证券进行级别的评定，用级别表示违约风险大小==

下表是穆迪公司(Moody’s)标准普尔公司(S&P)、惠誉公司(Fitch)关于债券级别的标准：

违约风险的具体体现

除了包括==债券违约可能性大小==之外，还包括==信用风险溢价发生变化、信用级别发生变化。==

债券的市场价值则与一般债券的到期收益率与无风险债券到期收益率之间的差额有关系，这部分溢价被称为==违约风险溢价==。

==如果违约风险溢价增大，债券的市场价值将变小==。违约风险溢价与经济环境有关系。在萧条时，投资者会担心债权人用于偿还债券本息的现金流量会下降。这样，违约风险溢价会扩大。

==如果债券本身或者发行公司的信用级别发生出乎意料的下调，将扩大违约风险溢价，从而降低债券价格==。

2.利率风险

1.利率变化会导致固定收益证券价格发生变化

• 证券的价格与市场利率呈反方向变化；
• 偿还期越长，债券价格波动幅度越大；
• 票面利率越低，价格波动越大；
• 相同幅度的利率变化，引起债券价格上升与下降的幅度不同，即利率下降引起债券价格上升的幅度，要超过利率上升引起债券价格下降的幅度。

2.利率变化会导致再投资收益率的变化

由于市场利率下降，利息的收益能力也就下降了，因此，票面利率越高的债券，再投资收益率风险越高。

==票面利率最高的债券是分期偿还债券，或者称为年金证券==。

3.利率变化会导致某类固定收益证券本金流量发生变化

在市场利率下降时，可回购债券的发行者就会倾向于回购债券；而住房抵押贷款支持证券由于借款人更愿意按降低了的贷款利率进行再融资，其本金提前偿还数额会增加。

4.利率风险会引发信用风险和流动性风险

当市场利率大幅上升后，借款人的偿还负担迅速增加，不少借款人就会发生偿还的困难。一旦证券的违约风险发生变化，流动性也会随之变化。==一般说来，高质量证券的流动性一般要强于低质量证券的流动性。==

3.流动性风险

流动性风险溢价

流动性是指证券的可交易性。流动性风险是指固定收益证券因其流动性不足而在交易证券时所可能遭受的损失。

在证券业中，通常用做市商买入价(Bid Price)与卖出价(Ask Price)之间的差额来表示流动性的大小。如果做市商买卖差价小，说明证券的流动性好；而买卖差价大，则说明证券的流动性不好。如下表。

流动性风险的影响因素

流动性风险的大小，与证券自身的特点有很大的关系。

• ==与固定收益证券交易场所能够吸引的投资者数量有关==

  • 如果证券在交易所交易，由于投资者或潜在投资者分散而且为数众多，交易必然活跃，流动性风险就低。
  • 如果证券由某一证券自营商，比如某一投资银行来做市，这种证券交易的活跃程度就取决于该做市商的实力和声誉。
  • 如果做市商实力强大，覆盖面广，服务柜台分布密集，其经营的证券的流动性就强。

• ==与该种证券发行规模有很大关系==

  • 如国库券发行量大，发行周期固定而且规律性强，投资者众多，自然流动性强。
  • 相比之下，某些公司发行的证券由于发行量小，投资者人数少，其流动性自然受到影响。

4.税收风险

理论分析

1.不同的投资者有不同的边际税率，不同的固定收益证券也有不同的税收待遇。

2.不同时期，投资者的税收环境和固定收益证券的税收环境也会发生变化。

美国债券交易税收制度的描述

总体特点是：

• 没有债券印花税和债券交易税；
• 债券投资收益税很复杂，不同主体发行的债券税收不同，利息收益税与资本利得税有所区别，还有初始发行折扣、市场折扣等复杂税收情况。

具体表现为：

1. ==关于印花税与债券交易税==：==没有==，美国注重资本的流动性以优化资本配置，而且政府可以采取其他手段控制过度投资，无须对债券交易征税。

2. ==利息所得==：

   在美国，债券利息是作为一般收入并人投资者所得中统一征收所得税的，并不单独计征。美国债券品种非常多，从发行主体来分，主要有联邦政府债券、方政府债券、公司债券等。不同类别的债券在利息所得税规定上有所不同：

   • 美国联邦政府债券的利息所得只需向美国联邦政府缴税，而不需向州政府和地方政府缴税。因此持有国债会明显降低个人所得税。

   • 地方政府债券：通常不用缴纳联邦所得税。

   • 公司债：没有税收优惠，需要缴纳联邦和州政府所得税。

   1. ==关于债券资本利得和损失==

      债券到期前出售而实现的资本利得需要纳税，但持有期长短不同，税收待遇不同。具体地，持有期不足一年的债券，税率与投资者的普通收入相同；但若持有期超过一年，则视为长期投资，目前最高税率为15%。

      与之相对，投资债券的资本损失可以抵税，首先是抵扣其他投资的资本利得。如果损失超过了所有投资的资本利得，现在每年可以从一般收和中减免3000美元，超过3000美元的损失可以延到下年继续抵税。

3. ==债券基金==

   税收规定基本与直接投资债券相同，但基金以红利形式获得的利息收入要全部缴税，最高税率为15%。

中国债券交易税收制度

我国目前对债券发行、债券交易等环节都没有征税。

==目前征税的环节只有债券投资收益。==

1. 个人投资者

   • 投资于企业债的利息

   • 收入按20%的比例纳税，而投资于国债和金融债的利息收入免税，资本利得不纳税。

2. 企业投资者

   • 非金融企业：按25%的税率课征企业所得税，对符合条件的小型微利企业按20%征收，对重点扶持的高新技术企业按15%
   • 金融企业：除了要对债券投资收益征收25%的所得税外，还要对债券转让的资本利得征收5%的营业税。

中美债券交易税收制度对比分析

1. ==债券发行、交易环节普遍不征税==：促进流动性（债收益本来就低，投资者对利率敏感）
2. ==债券的投资收益的税收制度有些不同==：利息所得税基本上是抵扣税，税率在15%一20%左右；对于个人债券交易资本利得税，美国征收，而有日本、韩国、我国台湾地区基本不征收
3. ==我国债券交易税收制度与国外相比有许多相同或相近的地方==：我国在债券发行环节和交易环节的税收制度上与大多数国家的情况没有多大的差别；在对投资收益征税的环节上对债券利息和资本利得执行不同的政策

5.购买力风险（通胀风险）

固定收益证券很难回避物价上涨带来的影响，相比之下，权益证券回避物价上涨的能力要好得多。

为了回避购买力风险，有很多种类的固定收益证券被创造出来。其中包括指数证券、保值证券、浮动利率证券、逆浮动利率证券等。

真实收益率是投资的最终获益指标。即：

$$1+y_n = (1+y_r)(1+P)$$

其中$P$是物价上涨幅度，则真实到期收益率为：

$$\displaystyle y_r=\frac{1+y_n}{1+P}-1$$

6.到期收益率曲线风险

==本质上，到期收益率曲线风险属于利率风险==，但也有自己的特殊性。

一个附息债券是多个零息债券的组合，因此一个附息债券价格的变化，与各种期限零息债券的利率风险有很大关系。一个债券组合是由多种债券构成的，因此，不是某一期限的利率发生变化影响债券组合的价值，而是整个到期收益率曲线的变化影响债券组合的价值。

==到期收益率曲线变化，包括平行移动和非平行移动两种。==

• 如果到期收益率曲线平行移动，那么可以用持续期(来刻画债券价格风险
• 而当到期收益率曲线非平行移动时，需要知道各种利率的持续期。非平行移动则有很多形式，如到期收益率曲线变陡、变平缓、变扭曲等。

7.利率波动的风险

有很多固定收益证券属于含权证券，因此，选择权的价值就在很大程度上影响了债券的价值。而选择权的价值与利率波动率有很大的关系。利率波动率越大，选择权价值越大。

8.风险回避与固定收益证券创新

创新的原因

==风险回避是固定收益证券创新的根本原因。==

创新的类别主要分为五个：==信用风险转移型、价格风险转移型、流动性提高型、税收风险回避型和购买力风险回避型==。

==信用风险转移型==：为了降低固定收益证券投资的信用风险，需要增加偿还保证。因此，抵押证券、质押证券和保证证券就应运而生。为了判断一个证券，特别是公司债券的信用风险，投资者可以利用资信评定机构所评定的级别。因此，投资级证券、非投资级证券以及垃圾证券等不同类别也就出现了。

==价格风险回避的途径==：每一种途径都需要各自的金融工具。例如，发行浮动利率证券来替代固定利率证券，而发行者自己承担价格风险。由于不同偿还期的债券，价格风险不同，因此，为了适应投资者的需求，就应该发行不同偿还期的债券。由于价格风险与证券的票面利率有直接的关系，因此，就应该发行不同票面利率的债券。

==价格风险==：例如在市场利率很低时，发行者可以重新发行债券以增加自己的利益，因此发行者增设了回购条款，即在经过一定的时间后，发行者可以在任何时候按事先约定的价格买回自己发行的债券。同样，有些投资者担心自己购买的证券，在市场利率上升后价格下降幅度过大，期望发行者按照事先约定的价格买回，这就产生了可回卖债券。为了回避利率风险，可以使用利率互换，为此，各种形式的债券互换也就产生了

==税收风险==：不同投资者的边际税率不同，因此，不同票面利率的证券被创造出来，适应不同类别的投资者。例如，高税率的投资者购买低收益免税证券，低税率的投资者购买高税率但不免税的证券。

==购买力风险==：为了帮助投资者回避购买力风险。我国发行的保值公债和英国发行的指数债券，都是根据物价指数变化而做出调整的。

创新的具体方式

1. 期限：短期、中期、长期、永续债、可展期证券
2. 利息支付方式：固定利率证券、浮动利率证券、逆浮动利率证券、指数化证券，也有纯粹证券、零息证券、低利率高收益证券
3. 附加权：认购权（股票、债券的认购权）
4. 多个方式同时：
   • 降低信用风险，需要政府或者民间机构对抵押贷款进行保险或担保
   • 降低流动性风险，需要创造出标准化的抵押证券一一住房抵押贷款支持证券。这种证券的偿还得到官方或民间机构的信用支持，信用风险大大降低，投资者可随时与这些机构进行住房抵押贷款支持证券的买卖，因此机构也创造了流动性。

第四节：计息与计价习惯

1.利率与复利

最原始的利率定义

最初的利率定义是，如果期初投入1元，能够在期末获得r元的净收益，那么称利息率是r。

单利计息

单利计息是指利息不计人本金的计算方式。则期末价值为：

$$F=P+P\times t \times r$$

复利计息

复利即利息不断计入本金，期末价值为

$$F = P(1+r)^t$$

2.复利频率与连续复利

复利频率

复利的计算与利息计人本金的时间间隔有很大关系。

在按单利计算的年利率一定的前提下，复利时间越短，实际利率就越高。

连续复利

$$\displaystyle F=P(1+\frac{rt}{n})^n \\ \lim_{n \to \infty}F=\lim_{n \to \infty}P(1+\frac{rt}{n})^n =Pe^{rt}$$

利率转换（计算实际有效利率）

$E.X.$​ 票面利率9%，在1年付息次数分别为1次、2次，4次、12次、365次乃至∞次的情况下，年实际利率是多少？

付息次数	年实际利率
1	9%
2	$(1+9\%/2)^2-1=9.2025\%$
4	$(1+9\%/3)^3-1=9.3083\%$
12	$(1+9\%/12)^{12}-1=9.3807\%$
365	$(1+9\%/365)^{365}-1=9.4162\%$
$\infty$	$e^{0.09}-1=9.4174\%$

平均利率的计算

在使用年复利的情况下，平均收益率是几何平均数。而在连续复利情况下，平均收益是简单的算术平均。

如在年复利情况下：

$$r_{0,2}=[(1+r_{0,1})(1+r_{0,2})]^{1/2}-1$$

而在连续复利的情况下：

$$F=e^{r_{0,1}(\infin)}e^{r_{1,2}(\infin)}=e^{r_{0,1}(\infin)+r_{1,2}(\infin)}\\ \displaystyle r_{0,2}(\infin)=\frac{r_{0,1}(\infin)+r_{0,2}(\infin)}{2}$$

3.债券计价

美国国库票和国库债

一般一年支付两次利息，两次利息支付刚好相隔半年。

国债的交割日通常是成交后的下一个营业日。实际交割日可以由交易者之间协商确定。如果交割日刚好是利息支付日，那么债券出售者获得当天的利息支付，而债券购买者获得其余款项。

1.付息日的债券计价

$$\displaystyle P=\sum_{i=1}^{n}\frac{100\times c/2}{(1+y/2)^t}+\frac{100}{(1+y/2)^n}$$

2.非付息日的债券计价

按照“实际/实际”规则来计算利息。由于非付息日交割，在计算债券价格时，可以先计算到下一个付息日的价格，然后再计算到交割日的价格，设$n_1$ 是交割日至下一个利息支付日的实际天数，$n_2$是上一个利息支付日至下一个利息支付日的实际天数，则

$$\displaystyle P = \frac{1}{(1+y/2)^{n_1/n_2}}(\sum_{i=0}^n \frac{100\times c/2}{(1+y/2)^t}+\frac{100}{(1+y/2)^n})$$

==这一公式得到的是债券购买者获得未来现金流量应该支付的价格，属于全价；如要反应基本面信息，去除因为付息而造成的价格波动，应使用净价==。

==满足关系：全价 = 净价 + 应计利息==

应计利息的计算是按照习惯进行的，设$n_3$为上一个付息日到交割日的实际天数，有

$a = 100 \times c/2 \times n_3/n_2$

这样，使用净价，有如下结论：

• 若$c=y$，债券为平价；

• 若$c >y$，债券发生溢价；

• 若$c<y$，债券发生折价。

对于$n_1,n_2,n_3$，关系示意图如下：

当偿还期短于一个付息段时，债券是按照单利来计价的。其中，全价的计算公式为

$$\displaystyle P=\frac{100(1+c)}{1+y/2 \cdot n_1/n_2}$$

美国公司债券、市政债券与联邦机构债券

• 公司债券市政债券与联邦机构债券，不是按照”实际/实际”的计息习惯，而是按照“30/360”来计息。30是指每个整数月份都按照30天计算，1年则按照360天计算。天数的计算公式为 天数 = 360 x 年 + 30 x (整数月份) + 剩余天数
• 公司债券与市政债券是三个营业日后交割，而国债是在一个交易日后交割

用180天代表半年（两个付息日之间间隔的天数，$n_2$），$n_1$仍然表示交割日与下一付息日之间的天数，则$n_3=n_2-n_1=180-n_1$

美国CD存单与单利证券

CD存单属于货币市场工具，偿还期一般短于一年。单利证券主要包括国库券和其他短期金融工具。这些金融工具按照“实际/360”的规则计算应计利息。

CD存单按现金发行，最终付给投资者面值＋利息。

设$D$为发行日至偿还日的天数，$D_1$为交割日至偿还日的实际天数，

则

$$利息 = 100\times c \times D/360 \\ \displaystyle P=\frac{100(1+c/2)}{1+y/2 \cdot D_1/D}$$

美国国库券与贴现证券

国库券、商业票据、银行承兑汇票以及其他贴现证券的偿还期都短于1年，与CD存单一致，但贴现证券折价发行，最终付给投资者面值。按照“实际/360”的规则计算贴现率。设$r_d$是贴现率，$D_1$为交割日指偿还日的实际天数，价格为：

$$\displaystyle P=100(1-r_d \frac{D_1}{360})$$

第五节：国外固收种类

主要有财政债券、政府机构债券、市政债券公司债券、资产支持证券、国际债券等。

规模最大的是国债，其次是住房抵押贷款支持证券。

存量结构如图：

1.美国财政债券

==到期日：Bill 短期 1年；Notes 中期 1-10年；Bonds 长期 10年以上==

国库票的期限是1年以上10年以下，而国库债的期限是10年以上。

==1.==美国财政债券是美国财政部发行的，其信誉是以美国政府的信誉做支撑的，因此没有违约风险。 财政债券从利息支付方式来划分，包括贴现债券和附息债券两种。而附息债券又分为固定利率债券和浮动利率债券两种。美国国库券属于贴现债券，没有利息，到期按面值偿还。

==目前美国财政附息债券都不是可回购的。==

==2.==美国的国债都按照竞价的方式来确定发行价格，其中3个月和6个月的国债于每个星期一竞价发行，1年期国债是在每月的第三周竞价发行，2年期和5年期的国债每个月都发行，10年期国债每个季度进行竞价发行。债券的承销商根据竞价的规则来报出自己购买债券的数量 和收益率 。

在单价竞价原则中，所有投标人都按全部被接受的竞争性投标中的最高收益率(最低价)，并按自己申请购买的数量购买证券，不管他们的实际出价是多少。而在多价竞价原则中，最低收益率(最高价)的投标人按这一价格认购，然后次高价的投标人按照他的出价认购债券，以此类推，直至全部债券被认购。

==3.==美国国债交易是通过柜台交易市场(Over-the-counter)来实现的。做市商们各自提出国债的买入价和卖出价，投资者很容易参与国债的买卖。美国国债交易市场几乎是小时交易市场，三个主要交易地点是纽约、伦敦和东京。

国债的清算日为交易日的第二天。刚刚发行的国债被称为On-the-run Issue，或者Current Issue。而早前发行的债券被称为Off-the-run Issue。之所以这样区分，是因为同样期限的债券，On-the-run Issue流动性更好，因此到期收益率会略低一些。因此，由On-the-run Issue入生出来的零息债券(STRIPS)的到期收益率曲线就成为基准到期收益率曲线。

==4.==美国财政部于1997年1月开始发行一种抵御通货膨胀的债券(Treasury Inflation Protection Securities，TIPS)。该债券的票面利率被称为真实利率(Real Rate)，由于票面利率是真实利率，因此必须根据物价变动状况调整名义票面利率。

由于物价指数一般都是正的，因此本金是被调大了的，而票面利率没有发生变化，因此，利息额是增大的。但美国财政部是按照调整后的利息征税的，因此，对投资者降低了吸引力。

如果发生了通货紧缩，根据条款，债券的本金按照初始价值和调整后价值较大的那一个执行。

2.政府机构债券

政府机构债券可以划分为政府资助企业债券和联邦政府机构债券。政府资助企业债券，是为降低某些行业在资本市场上的融资成本而由美国国会创立的企业所发行的债券。

在美国共有八家公司发行债券可以得到联邦政府的信用支持。这些公司主要是为了给农业、居民住房和学生学习等提供贷款支持。主要有两类：

• 一类是联邦关联机构，其债券得到联邦政府的全额保证，包括：政府国民住房抵押贷款协会、田纳西水利机构、民营出口融资公司。

• 另一类是政府资助的企业，包括：联邦国民住房抵押贷款协会、联邦住房贷款银行公司、学生贷款促销协会、联邦住房贷款银行系统、联邦农场信贷银行系统

市政债券

市政债券(Municipal Securities)是地方政府为了筹措建设资金而发行的债券。市政债券通常享受税收优惠，这类债券可以免缴联邦所得税，也叫”免税债券”(Tax-exempt)。具体而言，免税债券免掉的是利息税，不是资本利得税。资本利得照样缴税。市政债券的交易是通过柜台交易市场来完成的。包括四类：税收支持债券、收益债券、特别债券、市政衔生证券。

税收支持债券

1. 一般义务债券：最主要的种类，分为无限义务债券（咦发行者的全部资信，即无限的税收能力）和有限义务债券（有税率限制）
2. 拨款支持债券：偿还来源不足时可以动用政府拨款（但能否动用依赖于立法机构的批准）
3. 政府担保的市政债券：为了增强市政债券的信用，可以采取由州或者联邦机构担保的方法

收益债券

收益债券是为了某一特定工程或事业而发行的，并以该项工程或事业的收益作为偿还保证的债券。

特殊债券

1. 被保险债券：债券的偿还保障，除了来自发行者的收入能力之外，还来自保险公司的保险。
2. 被保障债券（提前找到了钱的债券，Pre-refunded Municipal Bond）：无论是税收支持债券，还是收益债券，如果发行者手里有了美国国债或者其他债券，而且国债产生的现金流入刚好满足市政债券的现金流出，这样，就相当于市政债券提前找到了还款来源

市政衍生证券

市政衔生证券是分割市政债券的现金流量而形成的。

市政衔生证券的一个例子是市政剥离证券(Municipal Strips)，这种证券类似于国债的剥离证券(Treasury Stips)。剥离之后的结果是，产生了各种期限的零息债券，适应了投资者对零息债券的需求。

3.公司债券

发行公司债的利弊

优势：

1. 成本稳定
2. 不分散投票权
3. 资本结构较灵活

不足：

1. 债务超过一定规模后，使资本成本整体上升，加大了经营风险和财务风险，导致企业破产和最后清理。

2. 债务通常需要财产担保，而且债权人须提出限制性条款，约束企业的经营和进一步融资的灵活性。这可能降低企业获取每股利益最大化的能力。

   债务在付息和还款期内，预期投资项目型利率下降，或者市场资本融资利率下调，以及通货膨胀率低于预期水平，都将使企业该笔债务成本筹集偏高，影响企业价值。

公司债的期限

债券的种类因偿还期的不同而划分为商业票据、中期票据和长期债券三种

1. 商业票据：商业票据属于无保证的期票，通常的期限是270天以下，最普通的商业票据的期限在50天以下。
2. 中期票据：投资者可以选择如下偿还期间：9个月—1年，1年—18个月，18个月—2年，一直到30年。尽管字面上叫中期票据，但实际上，期限横跨短期、中期和长期。
3. 长期债券

偿还保证

• 抵押债券：债券发行者用土地房屋、设备等不动产作为抵押保证物而发行的债券
• 质押债券：与抵押债券相似，只是保证品不同。当债券发行者没有真实资产用于偿还保证，发行者可以用自己所拥有的一切债权或股权做质押
• 担保债券：由另一家实体作保而发行的

金融债券

国外金融机构发行的金融债券是为了弥补资金来源的不足，主要是用于中长期贷款。

4.资产支持证券

资产支持证券在狭义上是指，以不包括住房贷款的其他资产为依托而发行的证券。这些资产包括消费贷款、商业贷款各类应收账款、信用卡余额等。

公司为什么不向银行借款，或者发行公司债券，而是把资产证券化呢？其中的原因有：

1. 对于低信用级别的公司而言，由于负债率很高，申请银行贷款的路很难走得通。
2. 由于公司的信用级别低，也许根本没有办法在市场中发行债券，或者发行债券的代价太高。

但如果以公司某项资产为依托，把资产生成的现金流证券化，那么就不是公司的信用高低起作用，而是现金流的好坏决定了资产支持证券的级别。如果资产的现金流稳定，由这一现金流支撑的证券的信用级别就高，因此融资成本就低。

最后，由于证券的流动性要比一般资产的流动性好得多，因为存在着证券的交易市场，这样，流动性风险的降低，也使得证券的到期收益率下降，又进一步降低了融资成本。

资产证券化后，证券的级别可以脱离原公司的级别，那么就必须割断公司与被证券化资产之间的联系。

资产的现金流应该完全属于证券投资者，因此，这一资产就不能被企业用于抵押或质押。

5.国际债券

外国债券

外国债券是指一个国家在另一个国家发行且在这个国家交易的债券。如中国在美国（以美元计价）发行债券，且该债券在美国债券市场中交易

欧洲债券

A国在B国发行以C国计价的债券。按照计价货币，分为欧洲美元债券、欧洲日元债券等，有如下几个特征：

1. 由国际辛迪加承销；
2. 同时在多个国家发行；
3. 债券发行不受任何一个国家司法的控制；
4. 债券发行无须注册。

全球债券

全球债券是指既在美国又在欧洲发行的债券。全球债券的发行，需要发行者有很高的信用级别，同时发行者对资金有持续性的需求，而且需求量巨大。

主权债券

主权债券(Sovereign Bond)是一国中央政府发行的债券，也称为金边债券(Cilts)

第六节： 中国债券市场结构与品种创新

央行票据是由中国人民银行发行的用于调控基础货币的政策工具。

教材中所介绍的内容多数已过时，需从实务中学习和提升

第一章补充内容：

汇率攻击

e.g. 用欧元去换某个小国的货币，再用小国货币去换美元，使得外汇市场上的小国货币的价格下降，进而再用美元去换取更多的小国货币

第二章：到期收益率与总收益分析

第一节：到期收益率

假定投资者持有证券一直到偿还期末的收益率。

1.到期收益率的概念

一般债券的到期收益率

对于一般的一年支付一次利息的债券，有：

$$\displaystyle P_0=\sum_{t=1}^{n} \frac{C}{(1+y)^t}+\frac{F}{(1+y)^n}$$

==用即期收益率特指零息债券的到期收益率。==

约当收益率 Equivalent Yield（ 等价收益率）

即按照单利方法计算出来的年收益率

年实际收益率

按照复利方法计算出来的年收益率

零息债券的到期收益率

对于一年支付$t$次的零息债券，有

$$\displaystyle P_0=\frac{F}{(1+y/t)^n}$$

$n$表示偿还期内一共支付利息的次数

至第一回购日的到期收益率

用$Q$表示事先约定的回购价格，则有

$$\displaystyle P_0=\sum_{t=1}^{n} \frac{C}{(1+y)^t}+\frac{Q}{(1+y)^n}$$

2.到期收益率的缺陷分析

到期收益率的假定：

1. 投资者持有证券至偿还期；
2. 全部现金流量如约实现，即不存在违约风险；
3. 再投资收益率等于到期收益率，即利率的期限结构呈水平状；
4. 没有回购条款，即证券发行者不能在偿还期到来之前回购证券。

==投资者也许更为关注的是持有期间的收益率，而不是到期收益率。==

除了国债之外，债券都存在着违约风险。再投资收益率的高低，在很大程度上会影响债券的实际收益率。通常情况下，再投资收益率不会等于到期收益率本身。到期收益率的计算假定了各期现金流量的再投资都按照到期收益率本身来获得收益。

==到期收益率不应该成为衡量投资收益的客观指标==。但需指出的是，==到期收益率可以用来衡量证券的价格==，这一价格衡量标准要比债券的绝对价格好得多。

在单个项目投资分析中，内部收益率(Internal Rate of Return，IRR)与净现值(Net Present Value，NPV)是等价的。无论是内部收益率，还是净现值，都假定再投资的收益率等于到期收益率本身。

$E.X.$==为什么在产业投资中，内部收益率是投资决策的好指标，而债券投资中到期收益率指标就不是投资决策的好指标?==

$Ans:$其中最为关键的就是再投资收益率能否等于到期收益率(内部收益率)本身。在项目投资中，由于项目产生的现金流可以用于本项目，因此，假定再投资收益率等于内部收益率是有一定道理的。而债券投资则不然，债券产生的利息不可能再用来购买原债券。

合理定价时，债券的到期收益率也不一定相等

将一个债券理解为零息债券的复合物。

==而由一串利息流构成的零息债券，可以称之为年金证券（Annuity Bond）==。给定零息债券的到期收益率，那么年金证券的到期收益率曲线也就可以得到了。

对于年金债券来说，有$\displaystyle P=\sum _{i=1}^n \frac{100}{(1+y_i)^i}=\sum _{i=1}^n \frac{100}{(1+y)^i}$，==即年金债券的到期收益率$y$是每年零息债券即期收益率的平均值==，如果如果零息债券到期收益率曲线或者说即期利率曲线是向右上方倾斜的，那么年金证券到期收益率曲线也向右上方倾斜，并且居于即期利率曲线的下方。如果即期利率曲线向右下方倾斜，那么年金证券到期收益率曲线也向右下方倾斜，但居于即期利率曲线的上方；如果即期利率曲线先上升后下降，那么年金证券到期收益率曲线也先上升后下降，但最初居于即期利率曲线的下方，与即期利率曲线相交后，居于即期利率曲线的上方。

如图：

年金证券可以被理解为票面利率极大化的债券，零息债券是票面利率最小化的债券，因此，一般附息债券可以被理解为这两种债券的合成品，附息债券的到期收益率是这两个证券到期收益率的某种平均。既然如此，附息债券到期收益率一定介于这两个证券到期收益率之间。而且，票面利率(例如1%)越低，年金证券的权重越低，该附息债券的到期收益率越靠近零息债券；票面利率越高(例如5%)，年金证券的权重就越大，附息债券的到期收益率就越靠近年金证券。

若即期利率$R_n$于年金证券的到期收益率相等，则有

$$\displaystyle a_n=\sum_{i=1}^n d_i = \sum_{i=1}^n \frac{1}{(1+R_i)^i}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{(1+R_n)^i}\\ \displaystyle \Rightarrow R_n = \frac{1-d_n}{a_n}$$

此时各种票面利率的债券到期收益率都相等，为$R_n$。

不同偿还期债券的到期收益率会有较大的差别。差别产生的原因主要有两个：

1. 即期利率曲线不是水平的，年金证券的到期收益率就不等于即期利率，因此附息债券的到期收益率也不等于即期利率
2. 票面利率不同。票面利率不同，债券之间的现金流量结构就不一样，票面利率差别越大，引起到期收益率差别就越大。

到期收益率难以计算

股票组合的方差取决于协方差矩阵而不等于单个股票方差的加权平均。但$\beta$值可以直接计算加权平均；债权组和的到期收益率也不等于单个债券收益率的加权平均，而应该重新根据组合的现金流计算到期收益率。

如图，当组合中债券的到期期限比较接近时，误差不是很大；但当到期期限差距较大时，误差就会加大。

第二节：到期收益率曲线与折现方程

1.到期收益率曲线的作用

到期收益率曲线是指各种期限的无风险零息债券到期收益率所构成的曲线。这条曲线也被称为即期利率(Spot Rate)曲线，或者利率期限结构(Term Structure of Interest Rates)。

每一种债券都会有自己的到期收益率曲线。但只有无风险零息债券的到期收益率曲线最为重要，因此，通常意义上讲的到期收益率曲线就专指零息债券的到期收益率曲线。

给其他证券定价

1. 给无风险的其他证券定价

   $$\displaystyle P_0=\sum_{t=1}^{n} \frac{C}{(1+y_t)^t}+\frac{F}{(1+y_n)^n}$$

1. 给有风险的其他证券定价

   由于存在着违约风险，因此证券的收益率中必须要包含违约风险溢价。静态利差：$y_{ss}$

   $$\displaystyle P_0=\sum_{t=1}^{n} \frac{C}{(1+y_t+y_{ss})^t}+\frac{F}{(1+y_n+y_{ss})^n}$$

1. 给固收衍生品定价

寻找套利机会

既然根据到期收益率曲线能够给债券定价，而且债券又有交易市场，因此，一旦债券的交易价格偏离理论价值，就会产生套利机会。

预测未来即期利率

利率变化会给投资者带来很大的风险，因此，回避利率风险就成为固定收益证券投资中一个非常重要的课题。

利率有一个很重要的特点，叫均值反转。也就是说，如果市场利率过高，均值反转的力量会把过高的利率拉下来；而如果利率过低，均值反转的力量会把利率托起来。

2.即期收益率曲线与折现方程

多种类型的到期收益率曲线

证券种类有很多，因此有多种类型的到期收益率曲线。例如，票面利率5%的到期收益率曲线，票面利率8%的到期收益率曲线等。债券的违约风险不同，进而有国债的到期收益率曲线和公司债券的到期收益率曲线之分。债券的流动性不同，进而有刚发行债券(On-the-run)的到期收益率曲线，也有已发行债券(Off-the-run)的到期收益率曲线。在中国，债券可以在交易所交易，也可以在银行间债券市场交易，两者的流动性不同，因此可以有交易所债券的到期收益率曲线和银行间债券的到期收益率曲线之分。

即期收益率曲线

即零息债券到期收益率曲线。

折现方程

折现因子与实际到期收益率的关系：

$$\displaystyle d_t=\frac{1}{(1+y_t)^t}$$

如果连续复利，则有

$$d_t=e^{-t\times y_t}$$

那么债券价格的公式可以写成

$$\displaystyle P=\sum_{t=1}^{n}d_t\times C_t$$

3.折现因子的求取

如果市场中没有某些期限的零息债券，如何计算对应于这一期限的折现因子？

函数估计法

假定折现曲线具有某种函数形式，再代入已知的折现因子的数据来估计参数，进而计算需要求取的折现因子。可以假设曲线为三次多项式等。根据年到期收益率估计月一般假设各月期到期收益率在12个月内是线性变化的。

由于到期收益率曲线不一定呈现某一特定的函数形式，因此，通常情况下用一种函数来描述整个到期收益率曲线是不合适的。对于不同阶段的到期收益率曲线，要用不同的平滑办法。

样条函数方法

1. ==多项式样条法==

   用分段的多项式函数来表示。在实际应用中，多项式样条函数的阶数一般取为3，从而保证贴现函数及其一阶和二阶导数都是连续的。参数可以通过用贴现函数所计算的债券价格拟合市场价来确定。

   贴现函数如下：

   加上$B(0)=1,\text{ }B_0^{(i)}(n)=B_n^{(i)}(n),\text{ }B_n^{(i)}(m)=B_m^{(i)}(m)$，得到：

   

2. ==指数样条法==

   考虑到贴现函数基本上是一个随期限增加而指数下降的函数，Vasicek和Fong提出了将贴现函数用分段的指数函数来表示。期限结构的估计，是以市场上可以观测到的债券成交价格，在市场上找出一条曲线，将每个债券每笔现金流用曲线的点进行贴现，使得债券的实际成交价格和利用曲线估计出来的价格之间的误差最小。

   贴现函数为：

加上约束条件，得到：

1. ==迭代法==

   使用迭代法(Bootstrapping)得到到期收益率曲线是最常用的方法。迭代法是把附息债券转化为各期现金流，把各个现金流看成是不同期限的债券，并需要知道一个最短期限的收益率。然后逐步迭代算出各期的即期利率。

   可以使用矩阵求解各期的到期收益率：

缺点有：

• 迭代法需要知道最开始时期的利率，一般使用半年期或者1年期无息国债的收益率。如果没有的话，用其他利率代替或者进行其他处理都会影响估计的精度。
• 迭代法需要有到期期限不同的各种债券，如果没有需要人为假设
• 迭代法很难利用市场上所有的债券品种，也没有利用包含在债券价格中的其他信息。
• 使用和迭代法尽管把附息债券假设成零息债券的合成物，但毕竟不是一个个可以单独交易的零息债券，即使有套利机会产生，如果实现套利机会不容易的话，附息债券定价会在零息债券定价之上产生一定的偏离。

1. ==统计方法==

   对数据量的要求比较大。假设：市场没有套利机会，价格反映了所有信息，那么对于债券$j$，有

   $P_{0,j}=C_{0,j}+C_{1,j}d_{1,j}+\cdots + C_{n,j}d_{n,j}$

   由于所有债券的折现率都相同，因此有

   $d_{t，j}=d_{t,i}\leq 1$

   设$C$是各种债券的现金流矩阵，$D$是折现因子向量，$P$是价格向量，我们就得到了一个有约束的回归方程$P=CD+\epsilon$，假设残差正态分布。

   缺点：

   • 要求比较多的数据样本
   • 如果债券发行和到期的日期都比较分散，那么债券现金流的数据很难直接用来模拟（需要估计的参数太多，难估计准）

第三节：收益率溢价

衡量收益率之差或者收益率溢价有多种方法，包括绝对利差、相对利差、静态利差等。

影响收益率溢价的因素有很多，包括违约风险、流动性风险、税收待遇等。

基本概念

绝对利差与相对利差

1. 绝对利差：某一债券到期收益率与某一基准收益率之差
2. 相对利差：相对利差表示的是绝对利差相对于基准收益率的倍数，即$相对利差=(yield_A-yield_B)/yield_B$
3. 收益率比率：某一债券到期收益率与某一基准收益率之比，即$收益率比率=yield_A/yield_B$

市场间利差与市场内利差

1. 市场间利差：不同子市场之间可比债券到期收益率之差被。例如，5年期公司债券的到期收益率为6%，而5年期国债的到期收益率为3.5%，那么市场间利差为2.5%。
2. 市场内利差：指在共同的子市场内不同类别债券的到期收益率之差。如刚发行的5年期国债与早就发行了但偿还期还剩5年的国债。

信用利差

单纯由信用风险或者违约风险引起的利差

税后收益率与等税收益率

1. 税后收益率：相同投资者购买不同证券纳税之后的收益率，即

   $税后收益率=税前收益率\times(1-边际税率)$

2. 等税收益率：把免税债券收益率还原为纳税前的收益率，即

   $等税收益率=免税收益率/(1-边际税率)$

静态利差

利差仅仅比较了在相同偿还期情况下，某一证券与基准证券，主要是国债的收益率差别，但由于该证券的现金流量与用来比较的国债的现金流量有着很大的不同，因此，这样的比较没有多大的意义。

正确的方法则必须考虑现金流量。假定一种公司债券期限为30年，那么该债券将向投资者提供30个不同时间点上的现金流量。因此，可以在市场上找到30个零息国债，而且这些国债产生的现金流量与那个公司债券的现金流量完全一致。那么，该公司债券的价值将等于其现金流量现值之和。

==静态利差（Static Spread）也被称为Z-利差，Z代表Zero，是指波动率为零时的利差==。==波动率为零的意思是利率变化没有任何其他可能，变化确定无疑。==

如图：

静态利差与绝对利差是不同的，前者是两条收益率曲线之间的距离，后者是两个到期收益率的差。

==静态利差与绝对利差的差距取决于以下几个因素：==

1. ==到期收益率曲线的形状==。到期收益率曲线越是陡峭，静态利差与绝对利差间的差距就会越大。如果到期收益率曲线是水平的，那么静态利差与绝对利差两者将不会有什么差别。
2. ==票面利率==。一个债券的票面利率越高，静态利差与绝对利差间的差距就会越大。
3. ==偿还期==。一个债券的偿还期越长，静态利差与绝对利差间的差距也会越大。
4. ==本金偿还的结构==。如果证券本金不是一次性偿还，而是分期偿还，或者不规则地偿还，那么静态利差与绝对利差间的差距也会变大。

即，在静态利差给定时，久期越小，利率上升引起的债券价格下降越小，那么到期收益率上升得也越少，绝对利差就越小，则静态利差-绝对利差越大。

选择权调整后的利差

由于利差没有考虑到某些债券的含权属性，因此，该指标存在一定的问题。为了考虑证券的含权性，需要计算选择权调整后的利差(Option-adjusted Spread，OAS)，即将含权债券价值与市场价格之间的差别转化为收益率之差。选择权调整后的利差越大，表明在其他条件不变的情况下，投资者的投资回报越大。

选择权的价值为：

选择权调整后的利差 = 静态利差 - 选择权价值(基点)

==利差的影响因素==

1. 违约风险越大，利差就会越大
2. 流动性越强，利差就会越小。由于刚刚发行的债券的流动性最强，而已经发行的债券的流动性降低，因此，已发行债券相对于刚刚发行的债券就会有利差。公司债券的流动性不如国债，因此，公司债券相对于国债而言，也会有利差。
3. 税收待遇越低，利差会越大，因为投资者关心的是扣除税收之后的收益率。
4. 一般情况下，市场利率水平较高，绝对利差就会加大。而市场利率处于低位时，绝对利差就会比较低。

第四节：持有收益率与总收益分析

衡量债券投资在一个投资期内实现的收益率的指标为持有收益率，而要计算持有收益率通常要估计未来再投资收益率。

持有收益率

持有收益率(Holding Period Return，HPR)是指在某一投资期内实现的收益率。这一收益率取决于三个来源，一是获得的利息，二是利息再投资获得的收益，三是资本利得或者资本损失。

计算持有收益率时，由于再投资收益率未知，这里假设了利息的收益率与持有期收益率相同。

总收益分析

市场利率不变时，可以假设持有再投资收益率就等于到期收益率。债券到持有期末的总收益为$P_0(1+y/t)^{tn}$，可以分解为如下几部分

1. 全部利息收入累积到投资期末的总价值

   $$\displaystyle C + C(1+r) +\cdots +C(1+r)^{n-1} =C[\frac{(1+y)^n-1}{y}]$$

1. 利息的利息

   静态利息之和为$nC$，则利息的利息为

   $$\displaystyle C[\frac{(1+y)^n-1}{y}]-nC$$

1. 资本利得

   $$P_n-P_0$$

总收益的敏感性分析

市场利率的变化对总收益的影响非常大。

==注意：利息的利息只与再投资收益率有关，所以计算复利时要用再投资收益率，但由于到期收益率（持有收益率）未知，不能直接计算总价值==

即：持有到期时，全部资产的总价值为$2823=816(1+y)^{40}-1 \Rightarrow y=3.8%$ ，则等价的年化持有收益率就为7.6%。

第五节：再投资收益率风险

债券投资中的均衡利率

均衡利率（Break-even Rate）：

假设一个投资者正在考虑选择一个合适的债券期限。假定该投资者将以持有期相同的零息债券的收益率作为基准，此时要分析的问题就是期限更长的债券实现的收益率，是否高于这一零息债券的到期收益率。

购买H期债券持有到期：$(1+y_H)^H$

购买T期债券，持有H期后出售：$\displaystyle \frac{(1+y_T)^T}{(1+y_{T-H})^{T-H}}$，即债券在T期的总价值折现到H期的现值

均衡利率是使得投资两种债券无差异的利率，即

$$$\displaystyle (1+y_H)^H=\frac{(1+y_T)^T}{(1+y_{T-H})^{T-H}}$\\ \displaystyle \Rightarrow y_{T-H}=[\frac{(1+y_T)^T}{(1+y_H)^H}]^{\frac{1}{T-H}}-1$$

当收益率曲线不变时，这一利率就是远期利率。

==再投资收益率风险==

• 在到期收益曲线向右上方倾斜时，即使未来再投资收益率上升，但只要不超过一定的幅度（不超过均衡利率），投资于长期证券还是相对有利的。
• 其他因素不发生变化，长期债券与基准债券的收益率溢价越大（远期的即期利率越大），均衡利率就会越高，这一长期债券给投资者带来的收益就越大。
• 如果到期收益曲线为水平状
  • 各种期限的远期利率或者说均衡利率都相等，都等于各种证券的到期收益率本身
  • 若该曲线在未来向上移动，即再投资收益率上升，投资于长期证券的收益将低于短期证券
• 如果到期收益率曲线向下倾斜，要使长期债券获得与短期债券相同的收益，市场利率必须下降（收益低，但波动高，利率下降带来的价格上涨更多）
• 不论何种情况，长期债券的收益波动总是高于平均
• 只要利率期限结构不是水平的，尽管该曲线不发生变动，投资者在偿还期前出售债券，他的持有收益率也不会等于到期收益率
• 即使到期收益曲线向上倾斜，并且不发生变化，最高到期收益率的证券不一定实现最高的持有收益率。买长期债券并且提前卖出相当于赚远期利率，由于到期收益率是远期利率的几何平均，长期更高的平均值不保证长期的远期利率一定比短期的远期利率更高（远期利率增速下降）
• 在到期收益率曲线不发生变化时，对于局部上升的到期收益率曲线而言，持有收益率要大于到期收益率（几何平均，如果平均数上升则原本的数也一定上升）

==案例分析：三种债券组合的选择==

两年期债券 or 一年期债券+一年期债券 or 十年期债券持有两年，投资应该如何选择？

首先，根据无套利的原则，有

$(1+y_9)^9(1+f_{0,9,1})=(1+y_{10})^{10}$

$(1+y_8)^8(1+f_{0,8,1})=(1+y_9)^9$

$\cdots$

$(1+y_1)(1+f_{0,1,1})=(1+y_2)^2$

$\Rightarrow (1+y_1)(1+f_{0,1,1})(1+f_{0,2,1})\cdots(1+f_{0,9,1})=(1+y_{10})^{10}$

可以看出$y_i$是各远期利率的平均值，如果利率曲线是增的，则各期收益率逐渐上升且均小于远期利率

三种债券组合的收益：

1. 购买两年期债券：$(1+y_2)^2=(1+y_1)(1+f_{0,1,1})$

2. 一年期债券买两次：$(1+y_1)(1+y_1^1)$

3. 购买十年期的债券并在两年后卖出：假设收益率曲线不变，则在第二年卖出时收益为：$\displaystyle \frac{1}{P_{10}} P_8=(1+y_{10})^{10}\frac{1}{(1+y_8)^8}=(1+f_{0,9,1})(1+f_{0,8,1})$

若收益率曲线是增的：

对于1、2，只需要比较$(1+f_{0,1,1})$和$(1+y_1^1)$，如果$y_2>y_1$，则一定有$(1+f_{0,1,1})>(1+y_1)$，如果收益率曲线不变，则$(1+f_{0,1,1})>(1+y_1^1)$；

类似地，对于1、3，有$(1+f_{0,8,1})(1+f_{0,9,1})>(1+y_8)^2>(1+y_2)^2=(1+y_1)(1+f_{0,1,1})$，选3最好。

若$y_2<y_1$，即收益率曲线是减的，那么$f_{0,9,1}<f_{0,8,1}<f_{0,1,1}<y_1$，$(1+f_{0,8,1})(1+f_{0,9,1})<(1+y_8)^2<(1+y_2)^2=(1+y_1)(1+f_{0,1,1})<(1+y_1)(1+y_1^1)$选2最好。

如果收益率曲线是水平的，无差别。

第二章补充内容：

Option Pricing:

第三章：零息债券与附息债券分析

第一节：零息债券

不论是哪种计息方式，只要是到期一次性支付本金和利息，就都属于零息债券

复制出来的零息债券

==零息债券没有再投资风险。==

中长期国债很少属于零息债券（3个月国债是零息债）。为了满足投资者的需要，中介机构在附息国债的基础上创造出零息债券。中介机构以某一个附息债券为依托，发放10个零息债券。而且零息债券的到期时间与附息国债利息支付时间一一对应。由于这些零息债券完全由附息国债来支撑，不存在违约风险，且没有再投资收益率风险，另外，这些债券的流动性很好，因此，投资者很愿意购买和持有这些零息债券。零息债券的发行价格会稍高一些，这样中介机构就可以从中获得一定的利益。

在美国，这种复制的零息债券称为STRIPS (Separate Trading of Registered Interest and Principle Securities)。

基于国债而复制的零息债券，被称为Treasury Strips。其中，由国债利息复制的零息债券被称为Coupon Strips，用”CI”表示，而由国债本金复制的零息债券被称为Principle Strips，其中本人金来自国库票，用“NP”表示(N代表Note)，本金来自国库债，用“BP”表示(B代表Bond)。

==之所以有这样的区分，是因为税收方面的原因==。一个纳税主体若购买了Treasury Strips，就必须按年支付利息税，即使它根本没有得到利息。这样，该机构持有这种证券，在偿还期到来之前其现金流量是负的。但也有的国家将这种复制零息债权定义为资本利得，享受税收优惠。

第二节：债券合成

附息债券是零息债券的合成物，也是年金证券与零息债券的合成物；零息债券也是附息债券的合成物。

1.用零息债券复制附息债券

做市商如何确定附息债券的买价和卖价

==在做市商的交易制度下，做市商按照Bid Price来购买，按照Ask Price来出售。Ask Price要稍高于Bid Price。其间的差异，就是做市商的利润来源==。

假定做市商按照比标准到期收益率曲线高10个基点的价格购买零息债券，按照比标准到期收益率曲线低10个基点的价格出售零息债券，计算价格即可。

任意一种非含权债券的定价

任何确定的现金流都是零息债券的复合物。将每期现金流乘以折现因子相加即得价格。

2.用附息债券复制零息债券

令$C_n$为债券$i$在时点$t$产生的现金流量，在全部$Q$各时点上，有$Q$各产生不同现金流量的债券，数量分别是$N_1,N_2,\cdots , N_Q$，投资者希望在时点1、2、……、Q产生$W_1, W_2, \cdots,W_Q$的现金流量，因此，可以构建联立方程组并求解：

$$\begin{cases} N_1C_{11}+N_2C_{21}+\cdots+N_QC_{Q1}=W_1 \\ N_1C_{12}+N_2C_{22}+\cdots+N_QC_{Q2}=W_2 \\ \cdots \\ N_1C_{1Q}+N_2C_{2Q}+\cdots+N_QC_{QQ}=W_Q \end{cases}$$

如果市场上有超过Q种的债券，可以用优化的方法来求取。

3.用年金证券与零息债券复制附息债券

债券可以分解为年金证券和零息债券。由等额利息生成的现金流，我们称之为年金证券。

$E.X.$分解例子：对于三种债券，有

将A、C债券拆称年金+零息债券，有

可以看出，根据债券合成的方法可以判断出某一个债券相对于其他两个债券而言是否定价合理，即给债券相对定价。

==综上，对于票面利息恒定的债券而言，有两种方法来进行合成==：

1. 用零息债券进行组合；
2. 用一组年金和单一零息债券来合成(年金的到期日、零息债券的到期日等于恒定票面利率债券的期限)。

4.用年金证券、零息债券、远期利率复制附息债券

如果B债券的到期时间为11年，则有

本质上是利用了无套利条件，得到了远期利率与已知的折现因子之间的关系，在本题中，即为$\displaystyle (1+y_{10})^{10}(1+f_{0,10,1})=(1+y_{11})^{11}\Rightarrow d_{11}=\frac{d_{10}}{f_{1,10,1}}$

第三节：寻找套利机会

套利的定义

套利：指利用证券定价之间的不一致，进行资金转移，从中赚取无风险利润的行为

需要满足的条件：

1. 价差：一项资产在不同的市场上有不同的价格，或者相同市场上某项资产与其他相同资产或其衍生资产之间存在定价上的不一致。

2. 同时性和等额性：为了实现无风险利润，套利操作需要实施反向操作，同时买卖等额的资产，从资产的差价中赚取利润。套利不动用自己的资本，而且自己的资本将不受任何伤害，不承担风险。即投资者持有的资产所产生的现金流与他持有的负债应该付出的现金流完全一致。

套利机会的寻找

构造现金流完全相同的债券组合，买入价格被低估的组合，卖出价格被高估的组合，赚取价差。

如果希望成本最低，需要使用线性规划的方法求解：

• 套利机会可能会被交易成本抵消。

实现套利的困难

1. ==两个市场债券的流动性不同==：

   流动性只与变现难度有关，但套利在理论上与流动性没有关系，而且因为投资者一直持有某种债券，而该种债券所产生的现金流量完全可以抵补投资者负债的现金流，但因为流动性降低了，因此投资者未来的选择余地减少了，而这对他是不利的。

2. ==市场容量不同==

   即使某项资产市场价格看上去较低，但如果市场容量很小，投资于一个相对较大的交易，就会迅速大幅度改变价格，这样也许事先认为存在的套利机会，瞬间就会消失

3. ==我国没有债券的卖空机制（防止价格下跌幅度过大）==

   由于我国禁止实行买空卖空操作，投资者必须手中拥有债券，才能被允许在另外一个市场卖出。所以应该看作债权组合的调整而非套利。

4. 市场准入的限制

   大部分的金融机构和非金融机构不能同时进入银行间市场和交易所市场，因而跨市套利的机会没有被频繁地使用。

5. 债券与资金的单向流动（资金流向会影响央行货币政策的效果）

   市场只允许资金从银行间市场流向交易所市场，相应的债券从交易所市场流向银行间市场，相反的交易不被允许。

第四节：债券价格的时间效应——$\theta$值

$\theta$值的定义

$\theta$值反映的是到期收益率曲线不变时，债券价格变化的时间效应，即零息债券在无穷小时间内的价格变化，即折现函数在某一时点上的负斜率。

$\theta$值的图形解释

==由于折现函数是一个下凸函数，零息债券的$\theta$值在折现函数的不同点上有所不同，且期限越短，间隔相同的时间引起的债券价格升值越快==。

$\theta$值的近似求法

由于求取$\displaystyle \theta=\frac{dP}{dt}$是困难的，于是我们转而求解$\displaystyle \theta=\frac{\Delta P}{\Delta t}$。

定义期限为t的债券价格的时间效应为：$\displaystyle \theta_t = \frac{P_{t+\Delta}-P_{t-\Delta}}{2\times \Delta}$

如12年的零息债券在1年内的价值增值幅度就为$\displaystyle \theta_{12}=\frac{d_{11}-d_{13}}{13-11}=\frac{d_{11.99}-d_{12.01}}{12.01-11.99}$，时间间隔越小，求出的$\theta$越精确。

$\theta$值变化图

偿还期越短，时间效应越强，反之越弱。如图所示

零息债券的时间-价格变化图与$\theta$值

时间-价格变化图的斜率就是$\theta$值

债券组合的时间效应——$\theta$值

一般债券组合的时间效应就是组合中包含的零息债券时间效应的加权总和，权数是某个零息债券的数量，即

$\displaystyle \theta_p=\sum W_i \cdot \theta_i$

第四章：久期与凸性

第一节：影响债券价格—利率敏感性的因素

==衡量价格风险主要采用持续期和凸性两个指标==：

• 持续期有金额持续期、比率持续期、修正持续期有效持续期，关键利率持续期等，利用持续期指标可以分析在到期收益率曲线水平移动和非水平移动情况下，债券价格的变化。
• 凸性有金额凸性、比率凸性、修正凸性和有效凸性等指标。凸性的引入可以弥补持续期指标的不足，可以更精确地衡量债券价格风险。

这两个衡量利率风险的指标可以广泛地应用在==组合免疫和避险==上：

• 组合免疫是让资产的价格风险与负债的价格风险相同，使得组合自身的权益价值不受市场利率变化的影响。
• 组合避险是指为了避免组合中某种流动性较差的资产的价格风险，而出售另外一种流动性较好的债券，间接回避组合中流动性较差的那种资产的价格风险。

基点价值与价格波动的收益率价值

基点价值是所要求的到期收益率变动一个基点所对应的债券价格的变化额。

价格波动的收益率价值(Yield Value of a Price Change)，是指债券价格发生一定金额变化(在美国，通常是一个美元的1/32)所对应的到期收益率变化的幅度。

==影响价格—利率敏感性的主要因素==

1. 其他因素不变，偿还期越长，价格—利率敏感性越大，但随着偿还期的延长，敏感性增大的速度在下降。

2. 其他因素不变，票面利率越低，债券价格一利率之间的敏感性越高。

   利率下降（影响更大）引起债券价格上升的幅度，要高于同样幅度的利率上升引起债券价格下降的幅度。

3. 其他因素不变，市场利率水平越低，债券价格一利率之间的敏感性越高

第二节：久期（持续期）

1.金额久期

定义与数学解释

指市场利率发生1个百分点（计算的是基点，所以最后要除100）的变化，债券价格变化的金额。

当到期收益率曲线发生微小平行移动时，引起的债券价格的微小变化可以用价格对利率的导数表示，即

$$\displaystyle \frac{dP}{dy}=\sum_{t=1}^{n}\frac{-t \cdot C_t}{(1+y_t)^{t+1}}=\frac{-1}{1+y}\sum_{t=1}^n t\cdot\frac{C_t}{(1+y_t)^t}$$

定义$\displaystyle \Delta_{金额}=\sum t \cdot \frac{C_t}{(1+y_t)^t}$

连续复利下，$P=e^{-yT}$，则$\displaystyle \Delta_{金额}=\frac{dP}{dy}=-T\cdot e^{-yT}$

债券组合的金额久期为$\displaystyle \Delta_{组合金额}=\sum N_i \cdot \Delta_{金额i}$，$N_i$为某种证券的投资数量。

几何解释 & 估计的准确度

如图，用金额久期计算的价格变化为$P_2’-P_1$，误差为$P_2-P_2’，$当市场利率变化不是很大的时候，债券时间价格与利用持续期估计的债券价格之间的误差不大。但是，当市场利率波动较大时，二者之间的误差就会很明显。

2.比率久期（麦考利久期）

定义麦考利久期：

$$\displaystyle \frac{dP}{Pdy}=\sum_{t=1}^{n}\frac{-t \cdot C_t}{(1+y_t)^{t+1} \cdot P}=\frac{-1}{1+y}\sum_{t=1}^n t\cdot(\frac{C_t}{(1+y_t)^t}/P)$​$$

同样地，在连续复利下，有

$$\displaystyle D=\frac{dP}{Pdy}=-T$$

从上面两个式子中不难看出期限为T的零息债券的麦考利久期就是T。由此，一个久期为T的债券组合的利率风险相当于期限为T的零息债券。另，附息债券的比率久期一定小于期限，且票面利率越高，久期与期限的差距越大。

对于任意债券组合来说，由$P=\sum P_i$得

$$\displaystyle \frac{dP}{Pdy}=\frac{1}{P}\sum\frac{dP_i}{dy}=\sum \frac{P_i}{P} \frac{1}{P_i} \frac{dP_i}{dy}=\sum \frac{P_i}{P} D_i$$

即债券组合的比率久期是每个债券久期的加权平均，权是各债券所占的比重。（而金额久期的权就是数额）

• 如果是一年支付两次利息的债券，有$\displaystyle dP=\sum_{t=1}^n \frac{-t \cdot C_t}{ (1+y/2)^{t+1}}d\frac{y}{2}=\sum_{t=1}^n \frac{-t \cdot C_t}{2\times (1+y/2)^{t+1}}dy$

3.修正久期

修正持续期在比率持续期的基础上考虑短期利率的影响。我们将修正持续期定义为：

$$\displaystyle D_M=\frac{D}{1+y}$$

并且，当一年支付两次利息时，$\displaystyle D_M=\frac{D}{1+y/2}$

4.有效久期

由于持续期的定义是债券价格相对于市场利率的敏感性，而在固定收益证券家族中，有些证券的现金流量是不确定的，这使得市场利率发生变化后，折现率以及现金流量都发生了变化，无法使用标准的持续期公式。

有效久期可以反映隐含期权价值的变化，期权的价格与利率有关， 现金流受利率的影响时，债券价格曲线不完全由到期收益率决定，因此不能求导而要直接用价格数据计算。

有效久期的定义如下：

$$\displaystyle D_{effective}=\frac{P_- -P_+}{y_+-y_-}/P= \frac{P_- -P_+}{2\times \Delta y \times P}$$

5.==关键利率久期计算（补充内容==）

无论是金额持续期、比率持续期，还是修正持续期，都假定到期收益率曲线水平移动。学者们考察美国债券市场得到的结论是，到期收益率曲线在绝大多数情况下是水平移动的，但有5%的情况是变陡的，有3%-4%的情况呈现蝴蝶状变化，即长期和短期利率增大，而中期利率降低。

如果到期收益率曲线不是水平移动的，应用传统的持续期指标就会产生问题。在利率期限结构中，某些关键的整数期限利率对交易者心里产生的影响至关重要，于是定义了关键利率持续期(Key Rate Duration)：关键即期利率的一定幅度的变化所产生的债券价格的变化，来衡量证券价格对利率的敏感性。

如图，一般人们假设关键年利率对其他非关键年利率的影响时简单的线性关系，且对其他关键年点的利率影响为0。

计算步骤：

假定第n个关键年利率分别向上和向下变动$\Delta y$，根据变动的关系（线性影响），可以构建新的期限结构和变动后的到期收益率曲线，并且计算变化后的债券价格，则该n年期的关键利率久期就为

$$\displaystyle D_n=\frac{V_--V_+}{2V_0 \Delta y}$$

在水平的期限结构下，各年期的关键利率久期之和就等于修正久期。每一个现金流都会在计算相邻主干点的关键利率久期时被计算两次，这两次加总后恰好等于修正久期中这一年现金流产生的久期，所以有此结论。

第三节：凸度

金额凸度

凸性是债券价格变化曲线的曲度，也就是说，凸性是利率一个微小的变化而引起的债券价格的额外变化，这一额外变化是基于持续期引起债券价格变化之上的。

凸度直接来自泰勒公式，==由于债券的三阶导数无法套利==，所以我们只关心一阶和二阶导数。

由泰勒公式

$\displaystyle \Delta P=\frac{\partial P}{\partial y} \cdot \Delta y+\frac{1}{2!}\cdot \frac{\partial^2 P}{\partial y^2} \cdot (\Delta y)^2 +\frac{1}{3!}\cdot \frac{\partial^3 P}{\partial y^3}\cdot (\Delta y)^3 + \cdots$

只取前两项，有$\displaystyle \Delta P \approx \frac{\partial P}{\partial y} \cdot \Delta y+\frac{1}{2!}\cdot \frac{\partial^2 P}{\partial y^2} \cdot (\Delta y)^2$

且$\displaystyle \frac{\partial^2 P}{\partial y^2}=\frac{1}{(1+y)^2}\cdot\sum_{t=1}^n t(t+1)\cdot\frac{C_t}{(1+y_t)^t}$

定义金额凸性$\displaystyle \Gamma=\sum_{t=1}^n t(t+1)\cdot\frac{C_t}{(1+y_t)^t}$

连续复利下，有$\displaystyle \Gamma=\frac{\partial^2 P}{\partial y^2}=\frac{d}{dy}(-Te^{-yT})=T^2\cdot e^{-yT}$

因此，已知金额久期和凸度之后，就有 $\displaystyle \Delta P = -\frac{1}{1+y} \cdot \Delta_{金额}\cdot\Delta y+\frac{1}{2}\cdot \Gamma \cdot (\Delta y)^2$，引入凸度之后能大幅提高对债券价格的估计。

• 如果一年n次付息，有$\displaystyle \Gamma=\frac{1}{n^2}\times \sum_{t=1}^n t(t+1)\cdot \frac{C_t}{(1+y)^t}$
• 债券组合的金额凸度是各债券的加权和，权时各债券的数量，即$\displaystyle \Gamma_{金额}=\sum_{i=1}^n N_i \Gamma_i$

金额凸性的经济含义

是当市场利率变动时，债券价格除了因为久期作用下变化，还要多上涨（不论利率怎么变，凸度总使得价格上升）的部分。

凸度的几何解释

因为凸性的存在，在市场利率下降时，债券价格会上升，但上升的幅度比单单通过持续期估计的价格上升幅度来得大；而如果市场利率上升，债券价格下降的幅度，要小于单单通过持续期估计的价格下降的幅度。因此，如果一个债券或者债券组合的凸性越大，给投资者带来的好处也就越大。

有些证券的凸性是负的，如一些含权证券，比如可回购债券，这种证券的价格受两个力量的影响，一个是当市场利率下降后，折现因子增大，价值上升；另一个是当市场利率下降到一定地步的时候，回购可能性增大，债券价格有下降的可能。使得在市场利率降到一定幅度的时候，债券价格凸性变成负数。在几何图形中表现为债券价格曲线的某一段呈现凹向原点。

比率凸度

定义为：

$$\displaystyle \Gamma_{ratio}=\sum_{t=1}^n t(t+1)\cdot[\frac{C_t}{(1+y_t)^t}/P]$$

对于连续复利的债券，有$\displaystyle \Gamma_{ratio}=\frac{\partial^2 P}{P \partial y^2}=\frac{d}{Pdy}(-Te^{-yT})=T^2$

若一年支付n次利息，有$\displaystyle \Gamma_{ratio}=\frac{1}{n^2}\times \sum_{t=1}^n t(t+1)\cdot [\frac{C_t}{(1+y)^t}]/P$

债券组合的比率凸度是加权平均，权是每种债券的投资比例，即$\displaystyle \Gamma_{组合比率}=\sum_{i=1}^n \omega_i \Gamma_{ratio,i}$

修正凸度

若一年支付n次利息，

$$\displaystyle \Gamma_{modified}=\frac{1}{(1+y/n)^2} \cdot \frac{1}{n^2 P}\times \sum_{t=1}^n t(t+1)\cdot \frac{C_t}{(1+y)^t}$$

那么，价格的波动率就为

$\displaystyle \frac{\Delta P}{P}=-D_m \cdot \Delta y +\frac{1}{2}\cdot\Gamma_m\cdot(\Delta y)^2$

有效凸度

使用有效凸度的原因与使用有效久期的原因一样。定义为：

$$\displaystyle \Gamma_{effective}=\frac{P_++P_- - 2P_0}{2P_0 (\Delta y)^2}$$

计算过程及几何解释如下：

若使用有效凸度与有效久期，债券价格的波动应该表示为：

$\displaystyle \frac{\Delta P}{P}=-D_{effective} \cdot \Delta y +\Gamma_{effective}\cdot(\Delta y)^2$，注意系数没有$\displaystyle \frac{1}{2}$。

凸度的特征

1. 非含权债券的凸性都是正数，因此凸性的存在改善了债券价格的风险状况
2. 凸性会随着到期收益率的增加而降低
3. 在给定到期收益率和修正持续期的情况下，票面利率越低的债券的凸性越小
4. 债券的凸性与时间效应是一对矛盾。当债券的凸性效应好时，时间效应就比较差；而当凸性效应较差时，时间效应就比较好。

第四节：持续期免疫与避险

1.久期与平衡点

平衡点是指债券投资者面临的价格风险与再投资收益率风险刚好相等，不论利率怎么变，投资者获得的收益都基本稳定，即价格风险被再投资风险抵消。

2.免疫

债券投资免疫就是使资产和负债的现金流量相吻合(Cash Matching)。

通常情况下，免疫的主体包括退休基金、寿险公司、商业银行等。

退休基金和寿险公司的负债期限很长，这些机构免疫就是要让它们的资产的期限也应该很长。在债券投资理论中，就是通过让资产的持续期与负债的持续期相等，以确保权益资本价值的稳定。

商业银行的负债期限很短，而如果资产期限较长的话，就会面临利率风险。而在利率环境不稳、变化方向莫测的情况下，商业银行最好是采取免疫的策略，让资产的持续期与负债的持续期相等，进而实现免疫。

并不是说这些机构始终都要免疫。免疫是为了预防某种不利情况的发生。如果能够预测未来利率的变化趋势，就不需要免疫，而需要积极的主动投资策略，从而实现更大的收益。

免疫步骤

1. 找到负债的持续期；
2. 选择一个组合，该持续期等于前面负债的持续期；
3. 选择每个证券投资的数量，使得组合的现值等于负债的现值；
4. 当市场利率发生变化，或者负债偿还，组合中短期债券到期等情况发生后，要调整投资组合（非零息债券的久期受市场利率变化的影响）

在久期免疫时，要使得到期收益率尽量高，具体而言：

1. 根据到期收益率曲线计算出负债的现值和持续期，从而得到免疫曲线(Immunization Curve)
2. 分析哪些债券可以用来构建组合。对于每一种债券，都计算出到期收益率和持续期
3. 将债券的免疫曲线画出，选择最靠右的组合连线即可获得最大收益
4. 计算每种债券投资的数量，使得组合的现值与负债的现值相等、久期相等。

比率久期：

如图，1年期和8年期的债券组合可以产生最大收益，那么只需要计算各种债券的投资比率。

• 金额久期

保持权益价格的不变，相当于使得权益的久期为零。由于权益不为零，所以不能用比率久期直接计算。

3.避险

避险(Hedging)：指利用一种证券给另外一种证券的价格变化提供保护。在债券市场中，有些证券的流动性较差，或者由于各种各样的原因，投资者不想出售这种证券。而他又担心这种证券价格下降，给他带来损失。投资者有一种办法，就是卖空市场中流动性高的另外一种债券。如果市场利率上升，债券价格下降。投资者持有的那种债券价格下降了，他当然遭受了损失。但他卖空另外一种债券会给他带来收益。这样一来，投资者的总体收益就得到了保证。

用Sharpe Ratio来表示，就是使得这一比例尽量高，减小投资组合预期收益的方差（即使预期收益也可能会减小），便于加杠杆。

利用久期避险

步骤为：

1. 找到被避险债券的修正持续期；
2. 找到卖空债券的修正持续期；
3. 找到避险系数(Hedge Ratios)。

4.持续期与凸性在投资组合风险管理中的应用

各种组合与套利

一般情况下，假定其他因素都一样，一次性支付(Bullet Payment)的凸性要小于杠铃式一一现金流量两头分布(Barbell Payments)的凸性，因此，Barbell投资会给投资者带来凸性利益（均值相同时，头尾更大的权重表明有更大的方差）。

Barbell策略在一般情况下要好于Bullet，因为Barbell策略更能够获得凸性利益。但Barbell策略不是永远好于Bullet，在利率变化比较小而且到期收益率曲线变陡的情况下，Bullet策略会更好些。因为凸性越大，时间效应越低。

上图中，在组合资产的持续期与负债的持续期相等而资产的凸性大于负债凸性的时候，不管市场利率发生什么样的变化，组合资产价值绝不会小于负债的价值；而且利率变化幅度越大，不管是向哪个方向变化，组合资产超过负债的价值就越多。

利率曲线的移动在完善的市场中不应该存在，而凸性利益与时间效应损失共生，因此在市场均衡的情况下，凸性利益也可以存在。（如前一部分，只有收益率曲线是concave的，才不能套利）

长期债券比率久期大，比率凸度大，时间价值($dP/dt$)低，但比率时间价值取决于远期利率曲线（可以通过到期收益率曲线得到），如果是水平的收益率曲线，则代表远期利率是常数。

以下用图来综合考虑时间+利率变化下各种不同组合的优劣：

Bullet：0.5B+0.5C

Barbell：0.5A+0.5D

Ladder（各种期限的债券平均分配，自然而然，其凸度应该居于二者之间）：0.25A+0.25B+0.25C+0.25D

负债为债券E

假设：到期收益率曲线平行移动，平移程度由横坐标表示

可以看出，在利率波动较大时，凸度较大的barbell收益更好，在利率波动较小而时间流逝较长的情况下，bullet更好。

同时，barbell还有短期债券部分久期小（利率下降时若需要变现损失不大）、需要经常调仓（短期债券到期、调整久期）的特点；ladder管理上更简单。

如果预期利率波动大，就选择高凸性组合；否则选择低凸性（甚至负凸性，也可以获得利益）组合，获得较大的时间价值。一般债券的凸性都为正，但有一些利率衍生工具的凸性可能为负。

第四章补充内容

利用久期和凸度进行套利：